PROBLEM OF THE WEEK - POW

Problem 2:

Find $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1+2^{2}+3^{3}+...+(n-1)^{n-1}+n^{n}}{n^{n}}$

Solution: Bài này mình dùng định lý hàm kẹp lớp 12 để giải.

Ta nhận thấy:
$\displaystyle n^{n-1}=[(n-1) +1]^{n-1}$
$\displaystyle =(n-1)^{n-1}+C^{1}_{n-1} (n-1)^{n-2}+...+C^{n-1-k}_{n-1} (n-1)^{k}+...+C^{n-2}_{n-1} (n-1)+1$
Ngoài ra:
                        $(n-2)^{n-2} < (n-1)^{n-2} \leqslant C^{1}_{n-1} (n-1)^{n-2}$
                        $...$

                        $..$

                        $.$

                        $(k)^{k} < (n-1)^{k} \leqslant C^{n-1-k}_{n-1} (n-1)^{k}$
                        $...$
                        $..$
                        $.$
                        $2^{2} < (n-1)^{2} \leqslant C^{n-3}_{n-1} (n-1)^{2}$
                        $1 < (n-1) \leqslant C^{n-2}_{n-1} (n-1)$
                        $0 < 1$
$\displaystyle\Rightarrow n^{n} < 1+2^{2}+...+(n-1)^{n-1}+n^{n} < [(n-1) +1]^{n-1}+(n)^{n} = n^{n-1}+(n)^{n}$
$\displaystyle\Rightarrow \frac{n^{n}}{n^{n}}=1 < \frac{1+2^{2}+3^{3}+...+(n-1)^{n-1}+n^{n}}{n^{n}} < \frac{n^{n-1}+(n)^{n}}{n^{n}}$
$\displaystyle\Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty} 1 < \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1+2^{2}+3^{3}+...+(n-1)^{n-1}+n^{n}}{n^{n}} < \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n^{n-1}+(n)^{n}}{n^{n}}$
Mà  $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} 1 = 1$

Và  $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n^{n-1}+(n)^{n}}{n^{n}} =  \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n^{n-1}}{n^{n}} + \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{(n)^{n}}{n^{n}} = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n} + 1 = 1$
Vậy theo định lý hàm kẹp: $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1+2^{2}+3^{3}+...+(n-1)^{n-1}+n^{n}}{n^{n}} = 1$

Problem 3:

Suppose $f(x)$ is an infinitely differentiable function on $(0, 1)$ and continuous on $[0, 1]$ and satisfies $f (0) = f (1) = 0$. Prove there is an $x$ in

$(0, 1)$ such that $f (x) = f ^{′}(x)$.

Solution: 


Problem 4:

Let $p(x, y)$ be a polynomial in x and y with real coefficients. Suppose $p(x, y) = 0$ for every $(x, y)$ satisfying $x^{2}+ y^{2}= 1$. Show $p(x, y)$ is divisible by $x^{2}+ y^{2}− 1$.

Solution:



Problem 5:

Prove that for all positive integers $n$ the equations $x^{2}+ y^{2}= 2n$ and $x^{2}+ y^{2}= n$ have the same number of integer solutions.

Solution:
Bài này làm mình nhớ đến định lý pythagore và tam giác vuông trong đường tròn. 

Problem 6:

A, B, C, D are four distinct points in three space. Suppose each of the angles ABC, BCD, CDA, and DAB are right angles. Show that all four points lie in the same plane.

Solution:
Giả sử D không đồng phẳng với A,B.C. Khi đó ABC, ADC là tam giác vuông tại B và D. Hai tam giác nằn trên 2 mặt phẳng cắt nhau theo cạnh AC. Gọi DH là đường cao ADC. Ta có BA vuông góc với AD (BAD là góc vuông) và BA vuông góc DH. Vậy BA vuông góc với mpADC, hay BA vuông góc AC. Tam giác ABC có 2 góc vuông B và A => Vô lý. CM tương tự cho các trường hợp khác => ABCD đồng phẳng.

Problem 7:

Suppose that for every (including the empty set and the whole set) subset $X$ of a finite set $S$ there is a subset $X^{∗}$ of $S$ and suppose that if $X$ is a subset of $Y$ then $X^{∗}$ is a subset of $Y^{∗}$. Show that there is a subset $A$ of $S$ satisfying $A^{∗} = A$.

Solution: