Một đêm khó ngủ với Goldbach-Euler

Tối hôm qua cũng lại một đêm khó ngủ.

Khi nhắm mắt, ẩn số đó lại xuất hiện trong đầu. Trằm trọc, lăn tới, lăn lui rồi cuối cùng cũng ngủ. Chắc lúc đó khoảng 2-3 giờ sáng. Nhưng trước lúc chìm vào giấc ngủ, một ánh sáng đã lóe lên, khiến tâm trạng vui mừng hơn bao giờ hết.

Cũng vẫn là Goldbach-Euler. Nhưng hôm nay mình mở rộng hơn một chút. Tạm gọi phát biểu:

"Mọi số chẵn đều có thể phân tích thành tổng 2 số nguyên tố"

là giả thuyết Goldbach-Euler hẹp.

Vậy tại sao lại là số chẵn, và tại sao lại phân tích thành tổng của 2 mà không phải là số lẻ, bội của 3, của 5, ..., hay là tổng của 3, 5, 7.... số nguyên tố? Vậy đặt giả thuyết sau là giả thuyết mở rộng:

Gọi $m$ là một bội số của $q$ hay $m  \vdots  q$ (với $q$ là số nguyên tố). Vậy $m$ có thể được biểu diễn bằng biểu thức sau: $\displaystyle m = \sum_{i = 1}^{q}p_{i}$ ($\displaystyle \forall p_{i}$ là số nguyên tố).

Vậy phần mở rộng trên có đúng phần giả thuyết GE hẹp không?

- Với 2 là số nguyên tố, tất cả mọi số chẵn đều là bội của 2. Vậy theo phần mở rộng, bội đó sẽ được phân tích thành tổng 2 số nguyên tố.

- Vậy với những bội của 3 sẽ được phân tích thành tổng 3 số nguyên tố.

- Với những bội của 5, của 7, của 11, ... cũng được phân tích như vậy.

Một nhận xét cũng đáng quan tâm:

Đặt $\displaystyle k = m / q  (k \in\mathbb{N})$. Đặt tập hợp những phần tử $\displaystyle p_{i} \geqslant k$ là  $\displaystyle S_{1}$ có $\displaystyle n_{1}$ phần tử và tập hợp những phần tử $\displaystyle p_{i} < k$ là $\displaystyle S_{2}$ có $\displaystyle n_{2}$ phần tử. Ta có: $\displaystyle \sum S_{1} - k*n_{1} = k*n_{2} - \sum S_{2}$ và $\displaystyle q = n_{1} + n_{2}$

Điều này giúp một phần trong việc phân tích một bội $m$ ra tổng của $q$ số nguyên tố.

Thêm một nhận xét thứ 2:

Đặt $\displaystyle r_{i} = p_{i}  mod  q   (i = 0,1,...,q)$. Ta có $\displaystyle \sum_{i = 1}^{q} r_{i} \vdots  q   với  r_{i} \in$ {$\displaystyle x | x \in\mathbb{N} \wedge  x < q$}.

Việc chọn  $p_{i}$ hợp lý sẽ giúp ta phân tích được $m$.
Vấn đề đặt ra là chứng minh có số lượng các số nguyên tố đủ dùng để thực hiện phép phân tích.